Математика и миф о нейтральности

Стив Бишоп

Если религию понимать как любую другую дисциплину, основания которой покоятся на наличии веры и разума, то согласно такому определению квантовая механика, например, тоже может быть религией. Но математика занимала бы в такой структуре уникальное положение единственной науки, обладающей серьезным признаком того, что она должна быть классифицирована только так.

Ф. Де Сюа (F. De Sua)

Математика и естественные науки не имеют никакого отношения к божественной религии.

Аарон бен Залмен Эммерих Гамперц (1723–1769)

Так какое же отношение имеют христианские убеждения к математике? Мы уверены, что математика нейтральна: разве два плюс два не будет равняться четырем, независимо от убеждений человека? Но все не так просто.  Если бы математика была нейтральна, она не зависела бы так сильно от человеческих убеждений или философских систем.

Рассуждая о различных философских течениях в математике, Пол Эрнест говорит:

Математическая истина, в конечном итоге, зависит от набора не поддающихся исследованию предпосылок, которые принимаются без доказательств. Но, чтобы считаться истинным знанием, предпосылки должны иметь под собой основание. Не существует достоверного основания для математического знания, кроме демонстрации или доказательства. Поэтому предположения являются убеждениями, а не знаниями, и остаются открытыми для сомнений.

Таким образом, математика покоится на вере. Это перекликается с ироничным замечанием специалиста по космологии Джона Бэрроу:

Человек обычно определяет религию как систему идей, содержащую утверждения, которые не могут быть исследованы логически или эмпирически. Религия полностью или частично покоится на некоторых положениях веры. Такое определение имеет парадоксальное следствие включать все известные нам естественные науки и системы мысли в сферу религиозного знания. Теорема Гёделя не только доказывает, что математика есть религия, но показывает, что математика является единственной религией, которая имеет право считать себя таковой!

Другими словами, убеждения составляют суть математики, поэтому она не может быть нейтральной.

Философия математики

Философия математики может быть разделена на две главные школы: абсолютистскую и фаллибилистскую. Абсолютисты рассматривают математику как объективную, статичную, неизменную и абсолютно верную сущность – отсюда и происходит название, в котором сделан акцент на математике как науке (единственное число). Фаллибилисты рассматривают ее как субъективную, незавершенную, нестатичную, постоянно изменяющуюся и допускающую погрешности субстанцию; отсюда понимание ее как “математические знания” (множественное число). Преподаватель математики, придерживающийся абсолютизма, может хорошо преподавать, решая с детьми обычные задачки и формируя в них ожидание, что существует только один-единственный правильный ответ. Преподаватель математики, придерживающийся фаллибилизма, сделал бы акцент на сотрудничестве, решении проблем и помог бы детям освоить исследовательский подход к решению задач. То, как мы рассматриваем математику, влияет на то, как мы ее преподаем. Математик-абсолютист может преподавать свой предмет именно так, как он это делает, благодаря своим профессиональным познаниям и опыту. Два плюс два вполне может равняться четырем, но вопрос состоит в том, чью концепцию «два», «плюс» и «равняется» мы используем? Далее мы проанализируем, каким образом рассматривают математику различные философские системы.

Взгляд абсолютиста на математику

Абсолютизм – общий термин для описания нескольких различных взглядов, который может включать логицизм, формализм, интуиционизм, платонизм, эмпиризм и многое другое. Общим для них является понимание того, что в центре всех математик лежит некое твердое основание, но они категорически не соглашаются друг с другом в том, что представляет собой это основание.

Логицизм. К защитниками логицизма относят Готфрида Лейбница, Готлоба Фреже, Бертрана Рассела, Альфреда Уайтхеда, а также Рудольфа Карнапа, смело выразившего догмат их веры: «Логицизм – это тезис, согласно которому, математика может быть сведена до логики; то есть, математикой не является ничто, что не есть частью логики». Таким образом, логика была возведена в абсолют. Однако основание логики вскоре оказалось зыбким песком. Она проявила себя чересчур усложненной, неясной и неоднозначной. Парадоксы теории множеств также способствовали ее быстрой кончине. Как Рассел позже признал:

Соорудив слона, на котором  мог бы покоиться мир математики, я обнаружил, что слон слишком шаток и начал создавать черепаху, чтобы предохранить слона от падения. Но черепаха была ненамного надежнее слона, и после двадцати лет напряженного труда я пришел к выводу, что нет ничего, что я мог бы сделать для упрочения достоверности математического знания.

Формализм. Главными личностями, которые ассоциируются с этим течением в математике, являются Давид Гильберт, Иоганн фон Нейман и Хаскелл Б. Карри. Последователи формализма, доминировавшего в середине двадцатого века, рассматривают математику как формальный язык.

Однако в 1931 году Курт Гёдель подорвал всю программу формализма. Он продемонстрировал, что всегда будут существовать определенные истинные утверждения, которые невозможно доказать. Ниже пример подобного утверждения:

Это утверждение не может быть доказано как истинное.

Если оно может быть доказано как истинное, тогда это утверждение ложное. Если это утверждение не может быть доказано как истинное, тогда оно истинно!

Таким образом, для формалиста математические предметы перестают существовать; математика сведена к формулам и лингвистике.

Интуиционизм Иммануил Кант и Леопольд Кронекер – предвестники математического интуиционизма, хотя наиболее известными его представителями являются Ян Брауэр и его ученик Аренд Гейтинг. Гейтинг утверждает:

Математик-интуиционист предлагает заниматься математикой как естественной функцией интеллекта, как свободным, важным занятием для развития мышления. Для него математика – это продукт человеческого разума.

А Брауэр говорит:

Математические категории не существуют в нашей концепции представлений о природе больше, чем сама природа.

Конструктивизм. Математика, как настаивают конструктивисты, придумана, а не открыта; она есть творение разума человека. Тем не менее, абсолютист рассматривает основы математики как нечто достоверное. Интуиционисты стремились основать математику на том, что было самоочевидным. Их теория не выдержала испытания, когда они не смогли прийти к согласию в том, что же является самоочевидным - то есть «самоочевидное» таковым не оказалось! Они отвергали все, что не было интуитивным, и таким образом отвергли большую часть математики. Такой результат привел к тому, что данный подход стал непригодным для большинства математиков. Характерным было также отрицание Кронекером иррациональных чисел.

Поскольку для интуициониста математика состоит из интуитивно очевидных идей, она происходит, главным образом, в сознании. Интуиция выступает основанием для математики, в результате мы имеем известное утверждение Кронекера: «Бог создал целые числа, а все остальное – работа человека».

Платонизм. Космолог Джон Бэрроу как нельзя лучше описывает взгляд приверженцев платонизма на математику: «В действительности число Пи находится на небе». Для них математические объекты и структуры имеют реальное объективное существование «где-то там»; отсюда следует, что математика открываема, а не изобретаема. Как предполагает название, этот взгляд характерен для учения Платона. В этом смысле Пифагор и Лейбниц были его последователями. К более недавним приверженцам принадлежат Георг Кантор, Гилберт Харди и Курт Гёдель, совместно с физиками Генрихом Герцем, Ричардом Фейнманом, Джоном Бэрроу, Роджером Пенроузом и Полом Дэвисом. Многие христиане, такие, как Джон Полкинхорн, также приняли форму математического платонизма.

Платонизм удивителен тем, что он настолько успешен, что большинство физиков и математиков-практиков переняли его. Однако платонизм по своей природе религиозен: он наделяет божественными атрибутами некое внешнее вечное царство, содержащее математические идеи. Клоузер отмечает, что «рассматривая гипотетическое царство как имеющее независимое существование, платонисты наделяют его статусом божественного».

Эмпиризм. Для представителя этого течения математика основана на эмпирических обобщениях или чувственных данных. Такой была позиция философа-утилитариста Джона Стюарта Милля. Существует, по крайней мере, два веских возражения против эмпиризма. Первое: когда наш опыт противоречит математике, мы не отвергаем математические истины; и второе: большая часть математики абстрактна и не основана на опытном познании мира.

Из абсолютизма и фаллибилизма именно абсолютизм мог бы обеспечить какое-то обоснование для нейтрального взгляда на математику. Однако, как мы видели, все абсолютистские взгляды полагаются на некий аспект творения для гарантии своего основания. Все они имеют определенную веру в то, что некий аспект реальности есть самосуществующим – трудно назвать это нейтральной позицией! Более того, ныне существует согласие в том, что абсолютистские взгляды на математику несостоятельны и ненадежны. Имре Лакатос (1922-1974) - вероятно, наиболее резкий критик абсолютистских подходов к математике - показал, что поиск уверенности в вышеупомянутых теориях ведет к порочному кругу: в своих попытках доказать что-либо все они полагаются на недоказуемые предположения. Ни слоны, ни черепахи не стали достаточно стабильным основанием для нее!

В следующем разделе, рассматривая взгляды фаллибилистов на математику, мы увидим, что они в действительности поддерживают мнение о том, что математика не является нейтральной.

Взгляды фаллибилистов на математику

Конвенционализм. Для конвенционалиста основания математики покоятся на лингвистических правилах. Конвенционалисты включают умеренных сторонников, например, Уилларда Куайна и Карла Гемпеля, и не-абсолютистов, таких как Людвиг Витгенштейн. Хотя и не будучи исключительно фаллибилистским, конвенционализм может приниматься в контексте учения фаллибилистов. Как указывает один из философов, Маховер, теория фаллибилизма часто становилась убежищем для побежденных приверженцев логицизма.

Конвенционализм указывает на социальную структуру математического знания и почти ни на что более. Он сводит математику к языковым и социальным аспектам реальности.

Социальный конструктивизм – это философия математики, предложенная Эрнестом. Он основывается на конвенционализме и квази-эмпиризме Лакатоса. Рубен Херш и Эрнст фон Гласерселд отстаивали похожие подходы, называя их «гуманистическим» и «радикальным» конструктивизмом, соответственно. Эрнест подытоживает социальный конструктивистский взгляд. Он утверждает:

Основание для описания математического знания как социального построения и принятие такого названия троично:

  1. Основание для математического знания находится в лингвистических соглашениях и правилах, а язык является общественным договором.
  2. Межличностные социальные процессы необходимы, чтобы превратить индивидуальное субъективное математическое знание после публикации в принятое всеми объективное математическое знание.
  3. Сама объективность знания становится социальным понятием.

Пункт второй - самый слабый, поскольку переход от субъективного к объективному знанию в социальном конструктивизме происходит посредством публикации. Эта идея, кажется, подразумевает, что математика, вместо того, чтобы быть «где-то там», скорее «где-то рядом»! Это скорее вызывает проблемы, чем решает их. Можно было бы расценить это утверждение так, будто рецензенты-эксперты научного журнала выступают арбитрами истины. И что произойдет, если будут опубликованы противоположные доклады по математике? Будут ли они оба считаться истинными?

Пункт третий рассматривает объективность как социальное согласие. Следовательно, объективное знание может быть ложным! Это открывает возможности для обвинений в релятивизме. Эрнест признает эти слабости, но не совсем удачно развенчивает их.

Пункт первый взят из конвенционализма; следовательно, он подвержен той же слабости, что и эта позиция: сведение математики к лингвистическим и социальным аспектам реальности.

Одно из главных положений взгляда фаллибистов на математику состоит в том, что математика представляется им продуктом человеческой деятельности. Это подрывает нейтральный взгляд на математику, как показывают следующие аргументы:

• Все мы имеем мировоззрение.

• Мировоззрение человека сформировано его религиозными взглядами.

• Вся деятельность человека сформирована мировоззрением.

• Математика является деятельностью человека.

• Математика сформирована мировоззрением, которое есть религиозные взгляды.

Заключение фаллибиста, состоящее в том, что математика сформирована под влиянием мировоззрения тяжело назвать позицией нейтралитета! Таким образом мнение о том, что математика является нейтральной, необоснованно.

Вместо заключения

Взгляд фаллибистов в действительности поддерживает ту идею, что математика не является нейтральной сама по себе. Абсолютистский же взгляд, который возник в начале для поддержки позиции о нейтральности математики, основан на убеждении, будто математику можно свести к одному или двум аспектам бытия, которые считаются самодостаточными и несотворенными. На самом же деле эти убеждения подразумевают божественные атрибуты, и таким образом, в сущности своей религиозны, потому их никак нельзя назвать нейтральной позицией.

Таким образом, мы видим, что никто из философов так и не смог предоставить надлежащего основания для истинного подхода к математике. Христианский подход должен принять онтологическую объективность абсолютистов вместе с эпистемологическим субъективизмом фаллибилистов, но мы должны помнить, что математика является творением Бога, поскольку единственной несотворенной сущностью является только Бог. Это - та позиция, в которой христианский взгляд на математику коренным образом отличается от философских теорий. Математика не основывается на каких-либо аспектах творения - ее основанием является Бог, Творец всего.

Поэтому математику должны формировать христианские убеждения, и они на самом деле формируют ее.

Стив Бишоп, профессор математики в Саундвелл Колледж, Бристоль, Великобритания, имеет степень бакалавра наук с отличием по физике и математике и степень магистра в прикладном богословии. Является соавтором книги «Господня Земля».

 Сноски

1. Процитировано в Howard W. Eves, In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes (Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1969).
2. Из «Ma’amar hamada’ in Megale sod (Hamburg, 1765). Процитировано в Michael Deakin and Hans Lausch, «The Bible and Pi,» The Mathematical Gazette 82, no. 494 (1998), 165.
3. Paul Ernest, The Philosophy of Mathematics Education (Basingstoke: Falmer, 1991), 14.
4. J. Barrow, The World Within the World (Oxford: Oxford University Press, 1988), 257.
5. Процитировано в Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., Philosophy of Mathematics: Selected Readings (Oxford: Blackwell, 1964), 31.
6. Imre Lakatos, Mathematics, Science and Epistemology (Cambridge: Cambridge University Press, 1978), 14.
8. Процитировано в Benacerraf and Putnam, eds. Philosophy of Mathematics, 42.
9. Ibid., 67.
10.J. Barrow, The World  Within the World, 241.
11.  R. A. Clouser, The Myth of Religious Neutrality: An Essay on the Hidden Role of Religious Beliefs in Theories (Notre Dame, Indiana: University of Notre Dame Press, 1991), 123. Моя признательность книге Клоузера намного больше, чем просто упоминание ее в этой ссылке!

Материал предоставлен Центром просветительских программ Международной ассоциации христианских школ www.acsi.org.ua